Zadania z różnych lat solution, Zadania z olimpiad fizycznych, Białoruskie olimpiady fizyczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
«Задачи разных лет»
(Решения)
1
. Для решения задачи воспользуемся
оптико-
механической аналогией”: построим
двукратное изображение” участка
между лугом и рекой. Изображения
вигвама обозначены
B
и
′
B
.
Очевидно, что кратчайший путь от
точки
А
до
′
B
есть отрезок прямой
AB
′′
. Этому изображению” пути
соответствует реальная траектория
минимальной длины
ACDB
. Из построения следует, что ее длина
равна длине отрезка
AB
′′
:
2
2
l
=+
l
4
h
.
min
2
. Удобнее всего решать задачу, заметив, что при подобном
движении с постоянной по величине скоростью путь, пройденный
собакой, может быть найден по формуле:
S
=
0
τ
,
(1)
где
v
0
— скорость собаки, τ — время ее движения между
пешеходами до момента их встречи.
Время легко найдем, определив скорость сближения
пешеходов
vv v
=
+ :
A
B
l
vv
τ=
0
.
(2)
+
A
B
С учетом (2) равенство (1) перепишется в виде:
v
S
=
vv
l
0
=
1,
км
.
0
+
A
B
Соответствующий график приведен
на рисунке. Здесь:
()
и
( )
—
xt
A
xt
B
x
C
—
искомая зависимость координаты
собаки от времени.
Интересна ситуация вблизи
точки встречи пешеходов. Ломаная на
графике будет иметь бесконечное
количество звеньев, хотя время
движения собаки конечно. Конечно же, при решении мы считали
собаку материальной точкой, т.к. ей очень сложно будет
зависимости пешеходов
A
и
B
,
( )
2
“крутиться” между пешеходами, когда расстояние между ними
станет меньше длины собаки.
3
. В задаче ничего не сказано о том, где встречаются
автобусы пассажиру: только по пути или на конечных станциях
тоже? Это напрямую связано с вопросом: стоят ли автобусы на
станциях или они практически мгновенно отправляются в путь?
Разберем оба варианта.
Вариант 1. Автобусы не стоят на станциях, поэтому
пассажир насчитал в дороге три встречных автобуса. Построим
график координаты автобуса с нашим пассажиром (толстая линия
на рис.). Обозначены точки, соответствующие встречам
автобусов., т.е. через эти точки проходят графики координат
встречных автобусов, движущихся в момент встречи в пункт
A
.
Достроим эти графики. Получаем пространственно — временную
схему движения и встреч автобусов. Подсчитаем число автобусов
на линии. Это можно
сделать для любого
фиксированного момента
времени. Например, для
t
=8
мин; один автобус
находится в пункте
A
,
второй — в
B
, а еще два
встретились посередине
между
A
и
B
. Итого 4 автобуса. Время в пути 16 мин. Средняя
скорость
движения
8
16
км
мин
v
=
=
30
км иас
/
.
.
Вариант 2. Пассажир считает и
автобусы, стоящие на конечных станциях.
Тогда графики координат в автобусов в
зависимости от времени имеют вид,
представленный на следующем рисунке.
Автобусы стоят по 8 минут на конечных пунктах (не меньше,
иначе они начнут чаще встречаться). Подсчет числа автобусов
опять дает число 4. С учетом времени стоянки средняя скорость
автобусов оказывается по-прежнему 30 км/ч (автобусы едут 8
минут со средней скоростью 60 км/ч и 8 минут стоят). Автобусы
могут стоять и больше, но тогда должно быть увеличено и число
автобусов на линии.
3
4
. Так как между ударами шарик движется по прямой, а
удары абсолютно упруги, то траектория шарика подобна
траектории луча света между зеркалами. Построим многократные
изображения «зеркал» друг в друге. Эти
изображения будут представлять лучи,
выходящие из одного центра, угол между
которыми равен
α= 10
o
. То есть таких лучей
35. Теперь движение шарика можно
рассматривать как движение в «пространстве
изображений» по прямой
AB
. Из
треугольника
AOC
легко найти минимальное
расстояние
OC
, на которое приблизится шарик к центру
r
= ϕ
07
.
Чтобы шарик испытал максимальное число отражений, его
необходимо направить под небольшим углом к оси конуса,
например, вдоль
h м
sin
,
min
AB
1
. Очевидно, что максимальное число
отражений 18.
На следующем
рисунке показана истинная
траектория
ABCDE
, и ее
«изображение»
' ' '
для шарика упруго
отражающегося от стенок
угла в
30
0
(мы увеличили
в данном случае угол для
большей наглядности изображения).
ABC D E
5
. Введем оси координат
как показано на рисунке. За время
t
угол поворота относительно
центров соответствующих
окружностей равен
ϕ =
t.
Тогда координаты точек
A
и
B
в
произвольный момент времени
x RR t
yR
=− +
=
cos
ω
,
xRR t
yR
= =
=
sin
ω
ω
,
⎩
⎩
A
A
sin
ω
t
,
cos
t
A
B
Если мы ведем наблюдение из точки
A
, то координаты точки
B
относительно
А
будут такими
4
)
(
⎨
⎩
xx x
=−=+
2
RR
sin
ω
t
−
cos
ω
t
,
0
B
A
(
)
yy y R
=−=
cos
ω
t
−
sin
ω
t
.
0
B
A
Если эти координаты сложить, то их сумма равна постоянной
величине
+=
.
Вообще говоря, эта формула задает
уравнение прямой
xy
2
R
0
0
2
= − в
системе отсчета, связанной с
движущейся точкой
A
. Однако,
движение точки
B
ограничено.
Например, координаты
y
лежит в
пределах от
R 2
до -
R 2
. Таким
образом, точка
B
движется
относительно точки
y
Rx
0
0
A
вдоль
отрезка прямой
y
2
=−.
Rx
0
0
6
. Рассмотрим движение одной черепахи
A
. Она движется с
постоянной по модулю скоростью, направление которой постоянно
меняется, т.к. смещается тот объект
B
, на который эта скорость
направлена. Все черепахи движутся одинаковым образом, поэтому
в любой момент времени они будут находится в вершинах
правильного n-угольника, вписанного в окружность меньшего чем
R
радиуса. Найдем с какой скоростью уменьшается радиус
R
.
Проекция скорости черепахи на радиус
vv
r
=
cos
α есть
величина постоянная, в силу сохранения симметрии их
расположения со временем, т.е. угла α. Найдем этот угол
αβπα
π β
−=⇒=
−
2
,
2
а угол β для правильного n-угольника, вписанного в окружность
равен
=
2
n
π
β
.
Итак
π π
α
=−
2n
,
тогда
ππ
π
⎛
⎞
vv
r
=
cos
−
⎟
=
v
sin
.
⎜
2
n
n
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]