Zadanie 5, Zginanie proste i ukośne. Wyznaczanie naprężeń stycznych przy zginaniu
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 3.5. Zginanie ukośne belki o przekroju prostokątnym
Na belkę działa siła pozioma P i pionowa 2P. Znając wartości tych sił, schemat statyczny
belki, wartości dopuszczalnego naprężenia na rozciąganie i ściskanie oraz kształt przekroju
poprzecznego zaprojektuj wymiar a przekroju belki.
2P
6L
6L
Przekrój belki
8L
4a
P
z
y
z
3a
y
Dane liczbowe:
P=1kN,
L=1m,
naprężenie dopuszczalne na rozciąganie kr=1.0 MPa ,
naprężenie dopuszczalne na ściskanie
kc=1.0 MPa.
Rozwiązanie
Rozwiązanie składać się będzie z następujących kroków:
obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki,
wyznaczenie wykresu momentu gnącego,
wybranie przekrojów „niebezpiecznych” do analizy naprężeń,
znalezienie naprężeń normalnych,
zapisanie warunku wytrzymałości i wyznaczenie szukanej wielkości.
obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki
Dla przekroju prostokątnego obliczymy od razu momenty główne centralne.
bh
3
4
⋅
3
3
b
h
4
3
⋅
3
I
z
=
=
a
4
=
9
a
4
,
I
y
=
=
a
4
=
16
a
4
12
12
12
12
3
wyznaczenie wykresu momentu gnącego
α
M
y
=4PL
M
2P
β
M
y
=8PL
M
z
=6PL
α
β
z
y
W przekroju α- α .składowe momentu gnącego wynoszą:
M
y
= 4PL
M
z
= 6PL
W tym przekroju występuje zginanie ukośne. Całkowity moment gnący obliczony jako
pierwiastek z sumy kwadratów momentów składowych wynosi: M=7.22 PL
W przekroju β- β składowe momentu gnącego wynoszą:
M
y
= 8PL
M
z
= 0
W tym przekroju występuje zginanie proste.
Obliczymy teraz naprężenia normalne od zginania w obydwu przekrojach.
W przekroju α- α
wyznaczymy naprężenia normalne ze wzoru na zginanie ukośne:
σ
=
M
y
z
−
M
z
y
I
I
y
z
Oś obojętną wyznaczymy podstawiając w miejsce σ zero.
0
=
M
y
z
−
M
z
y
⇒
z
=
M
z
⋅
⋅
I
y
y
⇒
z
= )
tg(β
⋅
y
I
I
I
M
y
z
z
y
Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy
M
⋅
I
6
PL
⋅
16
a
4
tg(
β
)
=
z
y
=
=
2
66
I
⋅
M
9
a
4
4
PL
z
y
β
=
69
0
26
,
2
Obliczmy naprężenia w punktach A i B najdalej leżących od osi obojętnej.
Współrzędne punktów A i B wynoszą:
a
=
−
1
y
B
=
1
a
z
A
=
2
a
z
B
=
−
2
a
Po wstawieniu wartości momentów
M
z
i
M
y
otrzymujemy
σ
=
M
y
z
−
M
z
y
=
1
.
PL
,
σ
=
M
y
z
−
M
z
y
= -
1
.
PL
A
I
I
a
3
B
I
I
a
3
y
z
y
z
W przekroju β- β
wyznaczymy naprężenia normalne ze wzoru:
σ
=
M
y
z
I
y
Podstawiając do wzoru moment
M
y
, moment bezwładności
I
y
i współrzędne
z
punktów
najdalej leżących od osi y obliczymy ekstremalne wartości naprężenia w przekroju
β- β.
σ
A
=
M
y
z
=
1
.
PL
,
σ
B
=
M
y
z
= -
1
.
PL
I
a
3
I
a
3
y
y
3
y
A
Maksymalne naprężenia wystąpiły w przekroju
α- α.
Zapiszmy warunek wytrzymałości:
σ
max
=
1
PL
a
3
≤
kr
=
1
MPa
]
Powyższa nierówność określa wymiar a:
a
≥
1
PL
.
3
k
r
Po podstawieniu wartości liczbowych
P=1kN,
L=1m,
kr=1.0 MPa ,
otrzymamy:
a
≥
1500
[
cm
3
]
⇒
a
≥
11
.
45
[
cm
]
.
Warto zwrócić uwagę, że miejscem, w którym występujące naprężenia normalne
wywołane zadanym obciążeniem decydowały o wymiarach przekroju był przekrój
α-α
, w
którym moment co do wartości bezwzględnej nie osiąga maksimum.
4
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]