Zadanie 2, Zginanie proste i ukośne. Wyznaczanie naprężeń stycznych przy zginaniu
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 3.2. Zginanie ukośne. Układ współrzędnych (0xy)
Wyznacz rozkład naprężenia normalnego w przekroju podporowym belki wspornikowej o
długości L obciążonej na końcu swobodnym pionową siłą P. Wymiary przekroju
poprzecznego belki podane są na rysunku zamieszczonym poniżej.
Oblicz naprężenia przyjmując następujące wartości liczbowe:
P=20kN, L=200cm, a=1cm
Przekrój poprzeczny
2a
P
L
6a
4a
2a
Rozwiązanie
Obliczmy moment gnący i charakterystyki przekroju. Przekonamy się czy wektor momentu
gnącego pokrywa się z jedną z głównych osi momentów bezwładności przekroju.
Przed przystąpieniem do obliczeń warto przez chwilę zastanowić się nad zadaniem.
Przyglądając się kształtowi przekroju poprzecznego łatwo możemy przewidzieć, że osie
główne są ustawione skośnie. Ponieważ wektor momentu jest poziomy (prostopadły do siły
P) przewidujemy, że mamy odczynienia ze zginaniem ukośnym.
Wyznaczmy wektor momentu gnącego w utwierdzeniu.
M=L P=PL=4000[kNcm]
α
P
α -α
α
L
M
PL
M
Obliczmy momenty bezwładności przekroju poprzecznego.
Podzielimy figurę na dwa prostokąty, wyznaczymy środek ciężkości i wartość momentów
bezwładności względem osi centralnych.
y
I
2a
Współrzędne środka ciężkości
wyznaczamy ze wzorów:
x
Σ
= ,
i
S
yi
c
Σ
F
6a
i
i
II
y
Σ
= .
i
S
xi
c
Σ
F
i
i
x
4a
2a
F
i
-oznacza pole powierzchni i-tej figury, na które podzielono cały przekrój.
S
= - jest momentem statycznym i-tej figury, na które podzielono cały przekrój
względem osi y. Moment statyczny względem osi y równy jest iloczynowi pola
powierzchni tej figury przez współrzędną jej środka ciężkości
x
i
.
F
i
x
i
S
= - jest momentem statycznym i-tej figury, na które podzielono cały przekrój
względem osi x. Moment statyczny względem osi x równy jest iloczynowi pola
powierzchni tej figury przez współrzędną jej środka ciężkości
y
i
.
F
i
y
i
Obliczenia możemy szybko przeprowadzić wykorzystując arkusz kalkulacyjny.
nr figury
F
pole
powierzchni
x
Sy
moment
statyczny
y
Sx
moment
statyczny
I
12 [a2] 3 [a] 36 [a3] 7 [a] 84 [a3]
II
12 [a2] 5 [a] 60 [a3] 3 [a] 36 [a3]
24 [a2]
4 [a]
96 [a3]
5 [a]
120 [a3]
Σ
S
yi
96
a
3
Σ
S
xi
120
a
3
x
=
i
=
=
4
a
y
=
i
=
=
5
a
c
Σ
F
24
a
2
c
Σ
F
24
a
2
i
i
i
i
2
yi
xi
Obliczmy teraz korzystając ze wzorów Steinera wartości momentów bezwładności względem
osi centralnych
x
i
y
.Niech osie
x
1
i
y
1
oznaczają osie centralne dla poszczególnych figur, na
które podzielono cały przekrój.
y
1
y
I
2a
x
1
1a
y
1
x
x
1
5a
II
4a
2a
6
a
⋅
(
2
a
)
3
2
a
⋅
(
6
a
)
3
I
x
=
+
(
2
a
)
2
⋅
12
a
+
+
(
2
a
)
2
⋅
12
a
=
136
a
4
12
12
2
a
⋅
(
6
a
)
3
6
a
⋅
(
2
a
)
3
I
y
=
+
(
−
a
)
2
⋅
12
a
+
+
a
2
⋅
12
a
=
64
a
4
12
12
I
xy
=
0
+
2
a
⋅
(
−
a
)
⋅
12
a
+
0
+
(
−
2
a
)
⋅
a
⋅
12
a
=
−
48
a
4
Dalszą część zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby.
Można wyznaczyć osie główne centralne, znaleźć współrzędne wektora momentu
gnącego w osiach głównych centralnych i wykorzystać wzór na naprężenia przy zginaniu dla
osi głównych centralnych.
Drugi sposób polega na wykorzystaniu wzoru na naprężenia przy zginaniu
wyprowadzonego dla osi centralnych.
Metoda druga jest krótsza, ale daje mniej możliwości sprawdzenia poprawności
naszego rozwiązania.
Rozwiązując metodą pierwszą znamy ustawienie osi głównych i możemy sprawdzić
czy wyznaczona przez nas oś obojętna dla zginania ukośnego jest odchylona od kierunku
wektora momentu w stronę osi głównej względem, której moment bezwładności jest
mniejszy.
Przedstawmy więc obydwa rozwiązania.
3
Metoda I – rozwiązanie w osiach głównych centralnych.
Wyznaczmy osie główne centralne i główne centralne momenty bezwładności.
(
I
+
I
)
−
I
I
2
I
=
x
y
+
x
y
+
I
2
=
160
a
4
1
2
2
xy
(
I
+
I
)
−
I
I
2
I
=
x
y
−
x
y
+
I
2
=
40
a
4
2
2
2
xy
tg
2
β
=
−
2
I
xy
I
=
4
,
β
=
0
4636
+
n
π
⋅
/
2
rad
]
,
β
=
26
0
35
+
n
45
0
'
I
−
3
x
y
Ponieważ moment dewiacyjny
I
xy
ma wartość ujemną, więc oś główna, względem której
moment bezwładności osiąga maksimum przechodzi przez pierwszą ćwiartkę układu (0xy).
Zmieńmy układ osi na taki, jaki tradycyjnie stosuje się w zadaniach na zginanie belek.
Zamiast układu (012) wprowadzimy układ (0yz).
Zapiszmy momenty bezwładności względem osi nowego układu:
I
z
= I
1
= 160a
4
I
y
= I
2
= 40a
4
4
Obliczmy współrzędne momentu gnącego w układzie (0yz).
M
y
=M sin(26
0
35’)=0.4472 M
M
z
=M cos(26
0
35’)=0.8944 M
Rozkład naprężenia normalnego od zginania wyznaczymy ze wzoru:
σ
=
M
y
z
−
M
z
y
I
I
y
z
Podstawiając wartości M=PL i I
y
=40a
4
, I
z
=160a
4
otrzymujemy:
σ
=
0
4472
PL
z
−
0
8944
PL
y
40
a
4
160
a
4
Równanie osi obojętnej (zbioru punktów przekroju dla których naprężenie równe jest zeru)
otrzymujemy podstawiając za σ wartość zero.
0
=
0
4472
PL
z
−
0
8944
PL
y
⇒
z
⋅
y
40
a
4
160
a
4
Wyznaczmy naprężenia w punktach położonych najdalej od osi obojętnej.
Oznaczmy te punkty literami A i B i wyznaczmy współrzędne tych punktów w osiach
głównych centralnych
(0yz)
Zapiszemy współrzędne punktów w osiach (0xy) i dokonamy transformacji układu przez
obrót o kąt α=26
o
35’.
5
= 0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]