Zadanie 1, Zginanie proste i ukośne. Wyznaczanie naprężeń stycznych przy zginaniu
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego
Na belkę wykonaną z materiału o wytrzymałości różnej na ściskanie i rozciąganie działają
dwie siły P
1
i P
2
. Znając wartości tych sił, schemat statyczny belki, wartości dopuszczalnego
naprężenia na rozciąganie i ściskanie oraz kształt przekroju poprzecznego wyznacz
minimalną długość
a
krawędzi przekroju tak aby nigdzie w belce nie nastąpiło przekroczenie
naprężeń dopuszczalnych.
P
2
=16P
P
1
=6P
A
Przekrój A-A
2a
A
6a
L
L
L
2a 2a 2a
Dane liczbowe:
P=1kN,
L=1m,
naprężenie dopuszczalne na rozciąganie k
r
=1.2 MPa ,
naprężenie dopuszczalne na ściskanie
k
c
=1.6 MPa.
Uwaga
Szukany wymiar „
a”
wyznaczymy rozwiązując nierówności będące matematycznym
sformułowaniem warunku nieprzekraczania w żadnym punkcie belki naprężeń
dopuszczalnych k
r
i k
c
.
W naszym zadaniu, jak się przekonamy, odległości górnej i dolnej krawędzi belki od osi
obojętnej przy zginaniu są różne, różne są także zadane wartości naprężeń dopuszczalnych k
c
i k
r
, a funkcja momentu gnącego M(x) względem osi belki zmienia znak. W takim zadaniu
musimy sprawdzić maksymalne naprężenia normalne od zginania w dwóch przekrojach belki.
W przekroju, w którym moment gnący osiąga maksimum i w przekroju, w którym osiąga
minimum. W wypadku gdyby k
c
i k
r
były jednakowe lub gdyby przekrój poprzeczny miał taki
kształt ,że odległości górnej i dolnej krawędzi belki od osi obojętnej przy zginaniu byłyby
jednakowe wówczas do rozwiązania zadania wystarczy określić największe naprężenie
normalne tylko w tym przekroju, w którym występuje największy co do wartości
bezwzględnej moment zginający.
Rozwiązanie
Rozwiązanie składać się będzie z następujących kroków:
1. obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki,
2. wyznaczenie funkcji momentu gnącego,
3. wybranie przekrojów do analizy naprężeń,
4. znalezienienaprężeń normalnych,
5. zapisanienierówności ograniczającej naprężenia i wyznaczenie szukanej
wielkości.
Wyznaczmy charakterystyki przekroju poprzecznego potrzebne do wyznaczania naprężeń
przy prostym zginaniu.
W celu dokonania obliczeń podzielimy figurę na dwa prostokąty, wyznaczymy środek
ciężkości i wartość momentu bezwładności względem osi poziomej. W obliczeniach
uwzględnimy, że przekrój poprzeczny ma oś symetrii.
Współrzędne środka ciężkości wyznaczamy ze wzoru:
y
=
Σ
i
S
zi
c
Σ
F
,
We wzorze przyjęto oznaczenia:
F
i
- pole powierzchni i-tej figury, na które podzielono cały przekrój,
i
i
S
=
- jest momentem statycznym względem osi z i-tej figury, na które podzielono cały
przekrój. Moment statyczny względem osi z równy jest iloczynowi pola powierzchni tej
figury przez współrzędną jej środka ciężkości
y
i
.
zi
F
y
i
Rachunki możemy szybko przeprowadzić wykorzystując arkusz kalkulacyjny.
z
I
2a
Tabela, w której wyznaczamy położenie środka ciężkości
II
6a
nr figury pole pow. y
S
z
12 [a
2
] 1 [a] 12 [a
3
]
I
y
II
12 [a
2
] 5 [a] 60 [a
3
]
2a 2a 2a
Σ
24 [a
2
]
3 [a]
72 [a
3
]
Σ
S
zi
72
a
3
y
=
i
=
=
3
a
c
Σ
F
24
a
2
i
i
Po wyznaczeniu położenia środka ciężkości przekroju obliczamy moment bezwładności
główny, centralny względem osi poziomej z.
6
a
⋅
(
2
a
)
3
2
a
⋅
(
6
a
)
3
I
z
=
+
(
2
a
)
2
⋅
12
a
+
+
(
2
a
)
2
⋅
12
a
=
12
12
=
4
a
4
+
48
a
4
+
36
a
4
+
48
a
4
=
136
a
4
z
1
I
3a
I
2a
z
z
z
1
2a
II
5a
II
y
y
2a 2a 2a
2a 2a 2a
2
i
W kolejnym kroku należy wyznaczyć wykresy momentu gnącego. Możemy wykonać to
zadanie wykorzystując zasadę superpozycji. Narysujemy łatwe do wyznaczenia wykresy
momentów dla osobno działających sił czynnych P
1
i P
2
. Moment gnący dla jednocześnie
działających sił jest sumą momentów dla sił rozpatrywanych osobno.
M
6P
L
L
L
Wykres momentu gnącego dla belki obciążonej jedynie siła P
1
=6P
M
16P
L
L
L
Wykres momentu gnącego dla belki obciążonej jedynie siła P
2
=16P
Sumując momenty przedstawione na poprzednich dwóch wykresach otrzymujemy ostatecznie
wykres momentów dla obciążenia obydwoma siłami jednocześnie.
P
2
=16P
P
1
=6P
M
α
β
α
β
L
L
L
Momenty osiągają wartości ekstremalne w dwóch przekrojach.
W przekroju
α-α
moment M
α
wynosi
5PL
a w przekroju
β-β
M
β
wynosi -
6PL
.
3
Obliczymy dalej maksymalne i minimalne naprężenia normalne od zginania w przekrojach, w
których momenty osiągają wartości ekstremalne.
Naprężenie normalne przy zginaniu prostym wyraża się wzorem:
σ
=
M
y
Jz
,
gdzie
M - moment gnący,
Jz - moment bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej z,
y - współrzędna warstwy dla której wyznaczane jest naprężenie.
Największe wartości naprężenia występują w warstwach belki, dla których
współrzędna y osiąga wartości ekstremalne, czyli na górnej i dolnej krawędzi przekroju. Na
niżej przedstawionym rysunku oznaczono dwa punkty A i B, w których badać będziemy
naprężenia. Zaczniemy od obliczeń dla przekroju
α-α
.
Przekrój
α-α
Moment gnący M
α
=5PL= 5 kNm
Punkt A
y = -3a
σ
=
M
y
=
5
kNm
]
(
−
3
a
])
=
−
15
[
kNm
]
A
Jz
136
[
a
4
]
136
[
a
3
]
Punkt B
y = 5a
σ
=
M
y
=
5
kNm
]
(
5
a
])
=
25
[
kNm
]
B
Jz
136
[
a
4
]
136
[
a
3
]
wykres naprężenia
normalnego od zginania
Następnie wykonamy obliczenia dla przekroju
β-β
.
Przekrój
β-β
Moment gnący M
β
=-6PL= -6 kNm
Punkt A
y = -3a
σ
=
M
y
=
−
6
kNm
]
(
−
3
a
])
=
18
[
kNm
]
A
Jz
136
[
a
4
]
136
[
a
3
]
Punkt B
y = 5a
σ
=
M
y
=
−
6
kNm
]
(
5
a
])
=
−
30
[
kNm
]
B
Jz
136
[
a
4
]
136
[
a
3
]
wykres naprężenia
normalnego od zginania
4
Na podanych wyżej rysunkach obszary przekroju poprzecznego , w którym występuje
ściskanie oznaczono kolorem zielonym, a obszary rozciągane oznaczono kolorem szarym.
Do dalszej analizy wybierzemy dwie ekstremalne wartości naprężenia. Największe
naprężenie rozciągające i największe ściskające.(wybrane wielkości oznaczono kołami)
Zapiszmy warunki nie przekraczania naprężeń dopuszczalnych.
Warunek wytrzymałości na rozciąganie wyraża nierówność:
25
kNm
]
≤
kr
=
1
MPa
]
136
[
a
3
]
Warunek wytrzymałości na ściskanie wyraża nierówność:
30
kNm
]
≤
kc
=
1
MPa
]
136
[
a
3
]
Z nierówności pierwszej mamy
25
[
kNm
]
≤
a
3
, a stąd
a
≥
5
cm
]
kN
136
[
a
3
]
⋅
1200
[
]
m
2
Z drugiej nierówności dostaniemy
30
[
kNm
]
≤
a
3
, a stąd
a
≥
5
cm
]
kN
136
[
a
3
]
⋅
1600
[
]
m
2
Ostatecznie naprężenia nie będą przekraczały wartości dopuszczalnych jeżeli wymiar
„a” przekroju będzie większy bądź równy 5.35 cm. Zdecydowały o tym naprężenia w punkcie
B przekroju
α-α
. Warto zauważyć, że w przekroju tym moment co do wartości bezwzględnej
nie osiąga maksimum.
5
[
[
35
[
17
[
[ Pobierz całość w formacie PDF ]