Zestaw11, Matematyka 2011-2012 zestawy zadań
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zestaw11
Zadanie1.Wyznaczy¢ekstremumfunkcjiizbadajjejmonotoniczno–¢
(1)f(x)=2x
3
3x
2
36x8(2)f(x)=x
4
4x2(3)f(x)=
(1x)
2
2x
(4)f(x)=
x1
x
+
2
(5)f(x)=
x
x
2
1
(6)f(x)=
4x
x
2
+4
(7)f(x)=
4
p
lnx
(9)f(x)=xln
1+x
2
(8)f(x)=
x
x
3
(11)f(x)=
e
x
1x
(12)f(x)=
e
x
(10)f(x)=
lnx
p
x
x+1
(13)f(x)=e
x
2
1
(14)f(x)=x
2
e
x
(15)f(x)=xe
12x
p
x
2
6x
(18)f(x)=e
x
2
+x+1
x+1
(16)f(x)=(x
2
+2)e
x2
(17)f(x)=e
p
(19)f(x)=ln(1+4x
2
) (20)f(x)=
14x
2
Zadanie2.Czyfunkcjaf(x)=(x
2
+1)e
x
maekstremumwpunkciex
0
=0,awpunkciex
0
=1?
Zadanie3.Czyfunkcjaf(x)=ln(x
2
4)+
1
p
x
2
4
maekstremumwpunkciex
0
=
5?
Zadanie4.Czyfunkcjaf(x)=(x
2
2x)lnx
3
2
x
2
+4xmaekstremumwpunkciex
0
=e?
Zadanie5.Czyfunkcjaf(x)=2xlnxmaekstremumwpunkciex
0
=
1
e
?
Zadanie6.Dlajakiejwarto–ciparametruafunkcjaf(x)=
x
2
a
e
x
osi¡gamaksimummlokalnew
punkciex
0
=3?Odpowied„uzasadnij.
Zadanie7.Dlajakichwarto–ciparametruaibfunkcjaf(x)=2alnx+bx
2
+xosi¡gaekstremumw
punkciex
0
=1ix
0
=2?Dlawyznaczonejwarto–cizbadaj,czys¡tominimaczymaksima.
Zadanie8.Wyznaczy¢przedzia“ymonotoniczno–cifunkcji
(1)f(x)=
lnx
1lnx
(3)f(x)=
x
2
+x3
x
(2)f(x)=
x
x+1
(4)f(x)=
lnx
(6)f(x)=lnx+
1
lnx
x
2
x+4
x
1
x
2
(5)f(x)=e
(9)f(x)=
x
2
3
e
5x
2
x
2
(8)f(x)=
p
xe
x
2
1
(7)f(x)=1xe
Zadanie9.Wykaza¢,»efunkcjaf(x)=x
1
x
jestrosn¡cawprzedziale(1;0).
a
x
jetrosn¡cawswojejdziedzinie?
Zadanie10.Dlajakiejwarto–ciparametruafunkcjaf(x)=2e
Zadanie11.Znale„¢najmniejsz¡inajwiƒksz¡warto–¢funkcji:
(1)f(x)=x+
32
x
2
wprzedziale[1;6],
(2)f(x)=xlnxwprzedziale[1;e],
(3)f(x)=
lnx
h
1;e
8
3
i
p
x
wprzedziale
(4)f(x)=x+
1
x
wprzedziale[1;1].
KAtedraEkonometriiU
Š
1
Zestaw11-odpowiedzi
Zadanie1
(1)Maksimumlokalnew“a–ciwedlax=2owarto–cif(2)=36,minimumlokalnew“a–ciwedla
x=3owarto–cif(3)=89,funkcjajestrosn¡cadlax2(1;2)orazdlax2(3;+1)a
malej¡cadlax2(2;3).
(2)Minimumlokalnew“a–ciwedlax=1owarto–cif(1)=5,funkcjajestmalej¡cadlax2(1;1)
arosn¡cadlax2(1;+1).
(3)Maksimumlokalnew“a–ciwedlax=1owarto–cif(1)=2,minimumlokalnew“a–ciwedla
x=1owarto–cif(1)=0,funkcjajestrosn¡cadlax2(1;1)orazdlax2(1;+1)amalej¡ca
dlax2(1;0)orazdlax2(0;1).
(4)Brakekstrem
ó
w,funkcjarosniedlax2(2;+1),malejedlax2(2;+1)
(5)Brakekstrem
ó
w,funkcjamalej¡caprzedzia“amiwca“ejswojejdziedzinie.
(6)Funkcjaosi¡gaminimumlokalnew“a–ciwedlax=2owarto–cif(2)=1orazmaksimum
lokalnew“a–ciwedlax=2owarto–cif(2)=1.Funkcjajestrosn¡cadlax2(2;2)amalej¡cadla
x2(1;2)orazdlax2(2;+1).
(7)Brakekstrem
ó
w,funkcjaro–niewca“ejdziedzinie.
(8)Funkcjaosi¡gaminimumlokalnew“a–ciwedlax=eowarto–cif(e)=eorazjestrosn¡cadla
x2(e;+1)amalej¡cadlax2(0;1)orazdlax2(1;e).
(9)Brakekstrem
ó
w,funkcjaro–niewswojejdziedzinie.
(10)Maksimumlokalnew“a–ciwedlax=e
2
owarto–cif(e
2
)=
2
e
,funkcjajestrosn¡cadlax2(0;e
2
)a
malej¡cadlax2(e
2
;+1).
(11)Maksimumlokalnew“a–ciwedlax=2owarto–cif(2)=e
2
,funkcjajestrosn¡cadlax2(1;1)
orazdlax2(1;2)amalej¡cadlax2(2;+1).
(12)Funkcjaosi¡gaminimumlokalnew“a–ciwedlax=0owarto–cif(0)=1orazjestrosn¡cadla
x2(0;+1)amalej¡cadlax2(1;0).
(13)Funkcjaosi¡gaminimumlokalnew“a–ciwedlax=0owarto–cif(0)=
1
e
orazjestrosn¡cadla
x2(0;+1)amalej¡cadlax2(1;0).
(14)Funkcjaosi¡gaminimumlokalnew“a–ciwedlax=0owarto–cif(0)=0maksimumlokalnew“a–ciwe
dlax=2owarto–cif(2)=
4
e
2
.Jestrosn¡cadlax2(0;2)amalej¡cadlax2(1;0)orazdla
x2(2;+1).
(15)Funkcjaosi¡gaminimumlokalnew“a–ciwedlax=
1
2
owarto–cif(
1
2
)=
1
2
ijestrosn¡cadlax2
(1;
1
2
)amalej¡cadlax2(
1
2
;+1).
KAtedraEkonometriiU
Š
2
p
p
p
p
33
(16)Funkcjaposiadamaksimumlokalnew“a–ciwedlax=
31owarto–cif(
31)=(2
3
2
)e
orazminimumlokalnew“a–ciwedlax=
p
31owarto–cif(
p
p
32)e
p
33
.Jest
rosn¡cadlax2(
p
31;
p
31)amalejacadlax2(1;
p
31)orazdlax2(
p
31;+1).
31)=(2
(17)Brakekstrem
ó
w.Funkcjamalej¡cadlax2(1;0)arosn¡cadlax2(6;+1).
(18)Funkcjaposiadamaksimumlokalnew“a–ciwedlax=2owarto–cif(2)=e
3
orazminimum
lokalnew“a–ciwedlax=0owarto–cif(0)=e.Jestrosn¡cadlax2(1;2)orazdlax2(0;+1).
Jestmalejacadlax2(2;1)orazdlax2(1;0).
(19)Funkcjaosi¡gaminimumlokalnew“a–ciwedlax=0owarto–cif(0)=0ijestmalej¡cadla
x2(1;0)arosn¡cadlax2(0;+1).
(20)Funkcjaosi¡gamaksimumlokalnew“a–ciwedlax=0owarto–cif(0)=1ijestrosn¡cadla
x2(
1
2
;0)amalej¡cadlax2(0;
1
2
).
Zadanie2Nie.
Zadanie3Tak.Wpunkciex=
p
5funkcjamaminimumlokalneowarto–cif(
p
5)=1.
Zadanie4Tak.Wpunkciex=efunkcjamaminimumlokalneowarto–cif(e)=
1
2
e
2
+3e.
Zadanie5Tak.Wpunkciex=
1
e
funkcjamaminimumlokalneowarto–cif(
1
e
)=2.
Zadanie6Dlaa=3.
Zadanie7Dlaa=
1
3
orazb=
1
6
.Minimumdlax=1,maksimumdlax=2.
Zadanie8
(1)rosn¡cadlax2(0;e),malej¡cadlax2(e;+1).
(2)rosn¡cadlax2(0;e
2
),malej¡cadlax2(e
2
;e)orazdlax2(e;+1).
(3)rosn¡caprzedzia“amiwca“ejdziedzinie.
(4)rosn¡cadlax2(0;
p
e),malej¡cadlax2(
p
e;+1).
(5)rosn¡cadlax2(1;1)orazdlax2(3;+1),malej¡cadlax2(1;1)orazdlax2(1;3).
(6)rosn¡caprzedzia“amiwca“ejdziedzinie.
(
7)
rosn¡cadlax2(
3
p
5
2
;2)orazdlax2(2;
3+
p
5
2
),malej¡cadlax2(1;
3
p
5
2
)orazdlax2
(
3+
p
5
2
;+1).
(8)rosn¡cawca“ejdziedzinie
(9)rosn¡cadlax2(1;2)orazdlax2(0;2),malej¡cadlax2(2;0)orazdlax2(2;+1)
Zadanie9f
0
(x)=
1+x
2
x
2
wiƒcfunkcjarosn¡cawca“ejdziedzinie.
Zadanie10a<0
Zadanie11
(1)warto–¢najwiƒkszar
ó
wna33dlax=1,najmniejszar
ó
wna6
8
9
dlax=6
(2)warto–¢najwiƒkszar
ó
wnae1dlax=e,najmniejszar
ó
wna1dlax=1
(3)warto–¢najwiƒkszar
ó
wna
8
3
e
4
3
dlax=e
8
3
,najmniejszar
ó
wna0dlax=1
(4)nieosiagawarto–cinajwiƒkszej,aninajmniejszej.
KAtedraEkonometriiU
Š
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]